Урок 5

Математика є прообразом краси світу.

Й. Кеплер

Тема уроку. Система опорних фактів планіметрії.
Наша мета: повторити та узагальнити матеріал з теми "Координати і вектори на площині".

На цьому уроці ми пригадаємо, що таке декартова система координат і багато чого іншого. Отож, вперед!

Сучасна Декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальна вісь позначається як x (вісь абсцис), вертикальна як y (вісь ординат). В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z. Всі точки в системі Декартових координат, складають так званий Декартовий простір.

Точка перетину, де осі зустрічаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Oy (абсциса або х-координата) та від осі Ох (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (кортеж) чисел (x, y). В тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат (x, y, z).

Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих величин.

Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до нескінечності в цьому напрямі.

Далі - дивись презентацію.

Координати і вектори на площині

Освіжили знання, а зараз пора застосовувати їх на практиці. Отож, розв'язуємо задачі.



1. За рисунком знайдіть координати вершин прямокутника.

Відповідь: В(2;6), D(10;-2).

2. За даними рисунка напишіть рівняння кола. 

Відповідь: 

3. Порівняйте довжину відрізків АВ і АС.

Відповідь: АВ>АС.

4. На рисунку АВСD — паралелограм. Виразіть вектор х через вектори а і b.

Відповідь: 

5. За рисунком знайдіть модуль вектора АВ.

Відповідь: 5.

6. Знайдіть помилку на рисунку.

7. Знайдіть координати точки, що ділить відрізок АВ у відношенні 3:1, рахуючи від точки А, якщо А(3;-5), В(-1;7).

8. На площині дано точки А(2; 5), В(2; 7), С(1;2), 3;4). Знайдіть кут між векторами АВ і СВ.

Розв'язки двох задач 7 і 8 вишли на електронну пошту, я перевірю і оціню. 

Познайомся з розв'язуванням дещо складніших задач.

Пора на перерву!

Чи можна так розставити круглі дзеркальні колони, щоб промінь, що йде паралельно підлозі, не досягав стіни ні при якому первісному напрямку? 

Колони із дзеркальною циліндричної бічною поверхнею можуть бути довільного діаметра і поставлені в будь-яку точку з умовою, що вони не торкаються одна одної. Як відомо, відбиття від дзеркала відбувається за правилом «кут падіння дорівнює куту відбиття». 

У випадку, якщо дзеркало не плоске, то кутом між променем і поверхністю дзеркала називається кут з дотичною площиною, проведеною в точці падіння променя. Скільки достатньо колон і яке має бути їх розташування, щоб промінь був екранований і не досяг стінки? Досить скінченого числа дзеркал або їх потрібно нескінченно багато? А може, і нескінченного числа не вистачить? Зрозуміло, що однією колони не вистачить. Промінь може пройти повз неї, але навіть якщо він і потрапить в колону, то після відбиття все одно досягне стіни. Таким чином, при будь-якому початковому напрямкупромінь падає на стіну. 

Очевидно, що і двох, і трьох колон недостатньо - з центру залу за деякими напрямками буде видно стіна. І виходить, промінь, пущений в цих напрямках, досягне її. Інтуїція підказує, а експеримент підтверджує, щомалої кількості колон недостатньо для екранування променя. Поставимо багато колон і випустимо промені «у всіх» напрямках. Експеримент показує, що промені досягнуть стіни. Однак експеримент - це ще не доказ. Можливо, треба було расставити колони якось по-іншому або ж взяти на кілька колон більше ... Досі математики не знають, чи достатньо будь-якого кінцевого кількості (нехай і дуже великого) колон для екранування променя. Якщо достатньо, то які мають бути іх діаметри і розташування? А може бути, і нескінченного числа колон не вистачить для вирішення поставленого завдання? 

Можливо, Ви придумаєте, як потрібно розставити колони?

Дивимось відео.

Результати можна побачити у журналі.

Корисні посилання:
Довідник школяра
Математика для школи
"Експонента". Освітянський математичний сайт


Якщо виникли запитання - пиши.

До наступного уроку!